数学特論４

トポロジーとは何か？

講義概要：

位相幾何学（トポロジー）は位置（＝位）と形（＝相）を扱う幾何学です。形は多様体論として、位置は結び目理論として研究されています。この講義では、ポアンカレ予想・幾何化予想の理解を最終目標に、トポロジーの様々な概念を学びます。

授業の到達目標：

同相と同位、オイラーグラフとハミルトングラフ、位相不変量・オイラー標数、イソトピーとホモトピー、多様体、埋め込みとはめ込み、基本群、結び目の不変量、ガウス曲率、楕円幾何・ユークリッド幾何・双曲幾何、ガウスボンネの公式、宇宙の形、幾何化予想を理解する。

事前・事後学習の内容：

予備知識としては位相空間（同相写像等）を仮定する。

授業計画：

第１回　トポロジーとは何か？「同じ形」とはどういうことか？「同相」「同位」について学びます。
第２回　グラフとは何か？「ケーニヒスベルクの橋」の問題とは？「オイラーグラフ」「ハミルトングラフ」について学びます。
第３回　位相不変量とは何か？「位相不変量」とは何か？オイラー標数について学びます。
第４回　写像とは何か？「写像」とは何か？「連続写像」「同相写像」「イソトピー変形とホモトピー変形」について学びます。
第５回　多様体とは何か？「多様体」とは何か？「開多様体・閉多様体」「境界を持つ多様体」「射影平面」「クラインの壺」について学びます。
第６回　埋め込みとはめ込みとは何か？「埋め込み・はめ込み」とは何か？「結び目の正則射影図」「結び目の種数」「射影平面のはめ込み」について学びます。
第７回　基本群とは何か？「基本群」とは何か？「ホモトピックなループ」「生成元」「単連結」について学びます。
第８回　演習これまで学んだことをより深く調べ、問題を解いて理解を深めます。
第９回　中間テストこれまで学んだことについてテストします。
第１０回　結び目の不変量「結び目の不変量」とは何か？「ライデマイスター変形」「3彩色可能性」「結び目解消数」について学びます。
第１１回　曲面の幾何「等質多様体」とは何か？「ガウス曲率」「楕円幾何・ユークリッド幾何・双曲幾何」「ガウス・ボンネの公式」について学びます。
第１２回　宇宙の形宇宙はどんな形か？「3トーラス」「レンズ空間」「ポアンカレ12面体空間」「ザイフェルト・ウェーバー空間」「積と束」「幾何化予想」について学びます。
第１３回　演習これまで学んだことをより深く調べ、問題を解いて理解を深めます。
第１４回　期末テストこれまで学んだことについてテストします。

教科書：

『ざっくりわかるトポロジー』名倉真紀、今野紀雄著（SBクリエイティブ） ISBN：978-4-7973-6444-6

参考書：

『ポアンカレ予想』小沢誠著