数学特論7

結び目理論の未解決問題１０

講義概要：

位相幾何学（トポロジー）は位置（＝位）と形（＝相）を扱う幾何学です。 形は多様体論として、位置は結び目理論として研究されています。 この授業では、結び目理論の10個の未解決問題について解説します。

授業の到達目標：

数学の専門分野において、どのような問題があるのかを知り、またその内容を理解することは難しい。 この授業では、結び目理論でどのような問題があり、またその内容を理解する為の知識を習得することを目標とする。

事前・事後学習の内容：

予備知識としては位相空間（同相写像等）を仮定する。

授業計画：

1. 第１回　結び目と多様体 結び目の定義と同値関係について学びます。また、関連する3次元多様体について学びます。
2. 第２回　結び目の不変量 結び目の交点数、解消数、橋数、ブレイド指数、幅、トランクについて学びます。
3. 第３回　結び目の基礎知識 結び目の境界スロープ、本質的曲面、双曲体積、デーン手術について学びます。
4. 第４回　Additivity problem 結び目の連結和に関して不変量（交点数や解消数等）がどう振る舞うか（加法性等）という問題。
5. 第５回　Lin's nugatory crossing conjecture 結び目Kを交差交換して再びKが得られたならば、その交差は無効なものに限るという予想。
6. 第６回　Cabling conjecture S^3内の結び目に沿ったデーン手術で、可約な多様体が得られたならば、その結び目はケーブル結び目に限るという予想。
7. 第７回　Berge conjecture S^3内の結び目に沿ったデーン手術で、レンズ空間が得られたならば、その結び目はバーギ結び目に限るという予想。
8. 第８回　Fox's slice-ribbon conjecture スライス結び目はリボン結び目であるという予想。
9. 第９回　Kashaev's volume conjecture Kashaev不変量（Colored Jones多項式）と結び目補空間の双曲体積の間の関係式に関する予想。
10. 第１０回　Garoufalidis's Jones Slope conjecture 任意の結び目に関して、ジョーンズスロープの2倍は常に境界スロープであるという予想。
11. 第１１回　Lopez conjecture スモールな3次元多様体はスモールな結び目を含むという予想。
12. 第１２回　Neuwirth conjecture 任意の非自明な結び目Kに対して、Kを含む閉曲面Fで、F∩E(K)が連結かつ本質的であるものが存在するという予想。
13. 第１３回　Rank versus Genus Conjecture 結び目Kの外部E(K)について、r(E(K))=g(E(K))が成り立つという予想。
14. 第１４回　期末テスト これまで学んだことについてテストします。

参考書：

結び目理論の未解決問題１０

結び目と曲面 Math. Soc. Japan, Sugaku Vol. 67, No. 4 (2015) 403-423