数学特論１

ポアンカレ予想

講義概要：

ポアンカレ予想は、1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された。 ポアンカレ予想は「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」という予想である。 噛み砕いて言うと、もしも宇宙空間で地球からロープを垂らし、ある軌道を辿り、再び地球に戻ってきたとき、そのロープは手で引っ張ってスルスルと手繰り寄せることができたとする。あらゆる軌道について、同様にロープを手繰り寄せることができるならば、地球外部の宇宙空間は、地球と同様に3次元のボールであるという予想がポアンカレ予想であると言える。 このポアンカレ予想は100年もの間、未解決であったが、ロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンによって解決された。実際、ペレルマンは、ポアンカレ予想を含む大きな予想である幾何化予想を解いている。 この授業では、ポアンカレ予想を予備知識なく理解できるよう説明し、幾何化予想についても可能な限り触れたい。

授業の到達目標：

先ず、多様体の定義と例を紹介し、多様体の代数的不変量であるホモロジー群と基本群を学ぶ。 この時点で、ポアンカレ予想のステートメントを理解する。 更に、ポアンカレ予想をより深く理解する為、被覆空間、ヒーガード分解、デーン手術、ザイフェルト多様体、ハーケン多様体など、3次元多様体論の基礎的部分を学ぶ。 その後、幾何化予想の理解に向けて、球面・トーラス分解について学び、ペレルマンの解法について触れる。

事前・事後学習の内容：

参考文献に挙げた書籍等を事前に読んでおくと理解がよりスムーズになると思います。

授業計画：

1. 多様体の定義と例１
2. 多様体の定義と例２
3. ホモロジー群の定義
4. ホモロジー群の計算例
5. 基本群の定義
6. 基本群の計算例
7. 被覆空間
8. ヒーガード分解
9. デーン手術
10. ポアンカレ・ホモロジー球面
11. ザイフェルト多様体
12. ハーケン多様体
13. 球面・トーラス分解
14. 幾何化予想
15. テスト

教科書：

ポアンカレ予想 小沢誠著

参考文献：

「ポアンカレ予想を解いた数学者」ドナル・オシア著　日経BP社

「ポアンカレ予想」ジョージ・G・スピーロ著　早川書房

成績評価方法：

主に、テストで評価する。また、レポートも考慮する。